Kulka János 1958. november 11-én született Budapesten. Édesapja, Kulka Frigyes európai hírű mellkassebész, tüdőgyógyász, egyetemi tanár volt. Édesanyja, Boleman Eszter volt az első tévébemondónő, Kulka Eszter néven fordító, a Szegedi Nemzeti Színház dramaturgja, dolgozott a Somogyi könyvtárban, rajzolni és festeni is tanult. 1957-ben született nővére Kulka Janina, aki a Semmelweis Egyetem II. számú Patológiai Intézetének professzora.
Szegeden élt, a nyarak nagy részét pedig Makón töltötte. Apai nagyszülei a holokauszt áldozatai lettek. Másodunokatestvére Vizy Márton dalszerző.
Gyerekszínészként, a Szegedi Nemzeti Színházban három alkalommal (III. Richárd, Édes fiaim, János király) is szerepet kapott, Komor István rendezéseiben.
A gimnáziumot a szegedi Ságvári Endre Gimnáziumban végezte.
Eredetileg bölcsész akart lenni, de egy véletlen folytán a Színház- és Filmművészeti Főiskolán kötött ki:
A főiskolán Kazimir Károly volt az osztályfőnöke, s többek közt Balogh Erika, Bubik István, Forgács Péter, Incze József, Kubik Anna és Lang Györgyi voltak az osztálytársai. 1981-ben végzett, majd a Pécsi Nemzeti Színházhoz szerződött, ahol Schiller Haramiák című művében debütált, Franz Moor szerepében. Bár Vámos László, a Várszínház főrendezője szerződtette volna, maradt a Szegvári Menyhért vezette pécsi színházban, ahol minden színházi műfajban kipróbálhatta magát.
1985-ben a kaposvári Csiky Gergely Színházba szerződött. A Babarczy László vezette színház ekkoriban élte fénykorát, olyan társulattal, amelynek tagja volt többek közt Csákányi Eszter, Lázár Kati, Máté Gábor, Molnár Piroska, Jordán Tamás, s itt rendezett az igazgatón kívül Ács János, Ascher Tamás, Gazdag Gyula, Gothár Péter is. Ezekben az években kapta első szakmai elismeréseit (Színikritikusok díja, Jászai-díj).
Szakmailag is nagyra tartott színpadi alakításai ellenére – vidéki színészként – az első magyar televíziós szappanopera, a Szomszédok Mágenheim Ádámja révén lett országosan ismert. A népszerű sorozatban az első adástól (1987. februárjától) szerepelt, 12 éven át.
Bálint András hívására 1993-tól a Radnóti Miklós Színház tagja lett Budapesten, s Valló Péter, Zsótér Sándor, Gothár Péter rendezőkkel dolgozott. Ekkoriban játszotta el Franciaországban Nyizsinszkij szerepét is franciául Jeles András Szerbusz, Tolsztoj című kamaradarabjában.
2003-tól a Nemzeti Színház tagja, ahová Jordán Tamás igazgatása alatt került. 2013-ban nem újította meg a szerződését. Április 27-én – vendégként – Ibsen, A nép ellensége című drámájában mutatkozott be a Budapesti Katona József Színház közönségének. A bemutató után néhány nappal a Petőfi Sándor utcai teátrumhoz szerződött.
2014. március 15-én Csákányi Eszterrel közösen elvállalta egy ünnepi tömegrendezvény műsorának vezetését. Az Autisták Országos Szövetségének nagykövete: kampányokon, ismeretterjesztő előadásokon vesz részt, hogy felhívja a figyelmet az autisták életére. A Katona József Színház tagja volt 2018-ig. 2018 májusában bejelentette, hogy betegségére hivatkozva visszavonul a színészettől, azonban meggondolta magát, és 2019 januárjában egy szöveg nélküli szerepben színpadra állt. Állapota a vártnál jobban javult, így ugyanebben a hónapban egy tévéreklámhoz adta a hangját, illetve azt is bejelentették, hogy márciusban Csehov Cseresznyéskertjében immár egy szöveges szerepet is elvállal.
Homoszexualitásáról 2013-ban beszélt először a nyilvánosság előtt. Korábban öt évig élt együtt Lang Györgyi színésznővel, a Pa-dö-dő együttes énekesnőjével, aki a főiskolán osztálytársa volt.
2016 áprilisában súlyos stroke-kal vitték kórházba, ahol életmentő műtéten esett át. A betegség következtében teljesen elfelejtett angolul és franciául. Az agyi érkatasztrófa miatt a műtét után a mozgásának visszanyerésében gyógytornász, beszédének javításában logopédus segítette. Súlyos afáziában szenvedett.